Уточним устройство воображаемой библиотеки
Полки пронумерованы положительными целыми числами: первая, вторая, третья и так далее без окончания. На каждой стоит ровно одна книга с тем же номером. Это условие мысленной модели, а не описание существующего здания. Нам требуется новое распределение всех книг, при котором никакие две не занимают одну полку. Не нужно перечислять все назначения до конца: достаточно общего правила и объяснения, почему оно применимо к каждому номеру. Именно такая работа с соответствиями помогает рассуждать о бесконечных множествах.
Утроим номер назначенной полки
Книгу с первой полки назначим на третью, со второй на шестую, с третьей на девятую. Общее правило: новый номер в три раза больше прежнего. Для любого положительного целого номера результат тоже является положительным целым числом, поэтому соответствующая полка предусмотрена моделью. Каждая книга получает назначение. Две разные книги не столкнутся: если их новые номера равны, после деления обоих на три окажется, что прежние номера тоже равны. Следовательно, разных исходных номеров у такого совпадения быть не может.
Посмотрим, какие номера останутся свободными
Заняты полки с номерами три, шесть, девять, двенадцать и дальше через три. В каждой последовательной тройке свободны первые две позиции. Например, среди первых двенадцати полок свободны первая, вторая, четвёртая, пятая, седьмая, восьмая, десятая и одиннадцатая. При этом ни одна книга не исчезла из нового распределения. Это показывает особенность счётной бесконечности: все положительные целые номера можно поставить в взаимно однозначное соответствие с частью этих номеров, здесь с положительными числами, кратными трём.
Конечный рисунок помогает увидеть правило, но не доказывает его
Если стеллаж ограничен двенадцатью полками, книга с пятой потребует пятнадцатую, которой нет. Поэтому описанное назначение не решает задачу для конечной мебели. Рисунок первых нескольких полок служит иллюстрацией; обоснование для бесконечного случая опирается на произвольный номер и отсутствие столкновений. Мы также не описываем физическую процедуру переноса бесконечного количества предметов за ограниченное время. Сначала и после задаются математические распределения. Вопрос реального перемещения потребовал бы совсем других условий.
Попробуйте на практике
Проверьте правило назначения книг на небольшом фрагменте и дополните рисунок общим рассуждением.
- Запишите номера первых четырёх книг и напротив каждой укажите полку с утроенным номером.
- Отметьте занятые и свободные позиции среди первых двенадцати полок. Помните, что это только начало бесконечного распределения.
- Объясните словами, почему две разные книги не могут получить одну полку, используя обратное действие к умножению на три.
- Ограничьте стеллаж двенадцатью полками и найдите первую книгу, для которой правило потребует отсутствующее место.
Как проверить результат. Первые четыре книги получают полки три, шесть, девять и двенадцать. В этом фрагменте свободны восемь позиций. Для конечного стеллажа проблема начинается с пятой книги. Обоснование бесконечного случая должно относиться к любым номерам, а не только к первым четырём.
Частые вопросы
Получается, что книг стало меньше?
Нет. Каждой прежней книге назначено ровно одно новое место. Изменилось множество занятых номеров. В бесконечном случае такая часть номеров может соответствовать всему исходному набору книг.
Можно ли вместо трёх выбрать другое число?
Для этого правила подойдёт любое целое число больше единицы. Проверка строится так же: назначение существует для каждого номера, а равенство новых номеров влечёт равенство исходных.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.