Что находится внутри, а что идёт по краю
Площадь описывает размер поверхности фигуры. Если сторона каждой клетки равна одной единице длины, сама клетка имеет площадь в одну квадратную единицу. Двенадцать целых клеток без наложений занимают двенадцать квадратных единиц. Периметр отвечает на другой вопрос: какова длина замкнутой границы фигуры? Его измеряют единицами длины. Проведите пальцем по краю прямоугольника, вернувшись в исходную точку. Этот маршрут помогает представить периметр, но не показывает, сколько клеток находится внутри. Поэтому рядом с ответом полезно записывать единицы: они напоминают, какую величину мы нашли.
Три раскладки и три разных ответа
Нарисуем первый прямоугольник: три ряда по четыре клетки. Его площадь равна двенадцати квадратным единицам. По верхнему и нижнему краю расположены отрезки длиной четыре единицы, по боковым краям — три. Вместе получается четырнадцать единиц длины. Во втором прямоугольнике два ряда по шесть клеток. Площадь снова двенадцать, а периметр уже шестнадцать: шесть, два, шесть и два. Третья раскладка состоит из одного ряда по двенадцать клеток. Её периметр равен двадцати шести. Мы сохранили количество материала, но изменили форму. При сравнении обязательно используем клетки одного размера; иначе одинаковое число клеток само по себе ничего не гарантирует.
Почему внутренние линии не входят в периметр
У каждой отдельной плитки четыре стороны. Можно ошибочно умножить двенадцать на четыре и получить сорок восемь. Однако после соединения плиток часть сторон оказывается внутри прямоугольника. По этим линиям внешний край не проходит. Более того, каждое соединение двух соседних клеток учитывается в таком ошибочном подсчёте дважды: по стороне от каждой клетки. На рисунке удобно обвести границу одним цветом, а внутреннюю сетку оставить бледной. Считать нужно только выделенный край. Для прямоугольника есть короткая проверка: сложить длину и ширину, затем удвоить сумму. Она должна совпасть с последовательным обходом всех четырёх сторон.
Что именно доказывает перестановка
Три рисунка дают конкретный пример: равные площади могут сочетаться с разными периметрами. Но из него нельзя заключить, что любые две фигуры равной площади обязательно имеют разные границы. Повернутый прямоугольник сохраняет обе величины. Также мы пока сравнили только три прямоугольные раскладки, а не все возможные фигуры. Хорошее геометрическое объяснение отделяет найденный пример от более широкого утверждения. Сначала назовите, что осталось неизменным, затем покажите, что изменилось, и подтвердите это подсчётом.
Попробуйте на практике
Проверьте площадь и периметр трёх прямоугольников из одинаковых клеток.
- Нарисуйте прямоугольники размером три на четыре, два на шесть и один на двенадцать клеток. Между рисунками оставьте свободное место.
- Пересчитайте клетки в каждой фигуре и подпишите площадь в квадратных единицах.
- Обведите внешний край каждого прямоугольника и посчитайте его длину, не включая внутренние линии.
- Проверьте ответы сложением четырёх сторон. Поверните первый рисунок мысленно и объясните, изменятся ли найденные величины.
Как проверить результат. Во всех трёх фигурах площадь равна двенадцати квадратным единицам. Периметры соответственно равны четырнадцати, шестнадцати и двадцати шести единицам длины. Поворот первой фигуры сохраняет её площадь и периметр.
Частые вопросы
Можно ли получить периметр, просто пересчитав клетки?
Количество клеток определяет площадь, если клетки одинаковые и целые. Для периметра нужно знать, как они соединены и где проходит граница.
Что делать, если формула и подсчёт по краю дали разные ответы?
Проверьте длины сторон и убедитесь, что вы считали отрезки, а не точки пересечения линий. Затем исключите из маршрута внутренние границы клеток.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.