Основание и высота должны относиться друг к другу
За основание можно выбрать любую сторону треугольника. Затем из противоположной вершины проводят перпендикуляр к прямой, содержащей эту сторону. Длина полученного перпендикулярного отрезка является высотой к выбранному основанию. В формуле площади длину основания умножают на соответствующую высоту и делят на два. Наклонная сторона сама по себе высотой не становится. Если взять основание от одной пары, а высоту от другой, правильный вид формулы не спасёт неверно выбранные данные.
Продолжение стороны помогает увидеть внешний перпендикуляр
Пусть нижние вершины находятся в точках А и Б на одной горизонтальной линии, на расстоянии десять клеток друг от друга. Верхняя вершина В сначала расположена на шесть клеток выше этой линии и на четыре клетки правее А. Теперь перенесём её на ту же высоту, но на тринадцать клеток правее А. Получим новую вершину Г. Перпендикуляр из Г попадает уже правее Б, на продолжение основания. Его длина по-прежнему равна шести клеткам.
Сдвиг вдоль параллельной прямой сохраняет нужную высоту
Оба положения верхней вершины лежат на прямой, параллельной основанию. Расстояние между этими двумя параллельными прямыми одинаково везде. Поэтому площади треугольников АБВ и АБГ равны: десять умножить на шесть и разделить на два, то есть тридцать квадратных клеток. Для второго треугольника не нужно добавлять площадь участка под продолжением основания. Продолженная линия нужна, чтобы построить высоту; само основание остаётся отрезком АБ длиной десять клеток.
Равная площадь не означает одинаковую форму
Наклонные стороны после переноса вершины изменились, и сами треугольники выглядят иначе. Наш расчёт утверждает только равенство площадей. Из него нельзя заключить, что совпадают все стороны, углы или периметры. Также неверно переносить вывод на любое перемещение вершины. Если поднять её выше исходной параллельной прямой, расстояние до основания увеличится. При неизменном основании новая высота восемь клеток даст площадь сорок квадратных клеток. Условие сохранения высоты здесь принципиально.
Попробуйте на практике
Постройте и сравните три треугольника на клетчатой бумаге. Достаточно карандаша и линейки; точность чисел задаётся клетками.
- Отметьте А и Б на одной горизонтальной линии через десять клеток. Поставьте В на четыре клетки правее А и на шесть клеток выше. Соедините три вершины.
- На той же высоте шесть клеток отметьте Г на тринадцать клеток правее А. Соедините её с А и Б. Продлите прямую АБ вправо и обозначьте перпендикуляр из Г к этой прямой.
- Вычислите площади АБВ и АБГ по основанию десять и высоте шесть. Подпишите единицы площади и объясните, почему внешний перпендикуляр не требует увеличивать основание.
- Добавьте вершину Д на тринадцать клеток правее А и восемь клеток выше. Найдите площадь АБД и назовите условие, которое изменилось по сравнению с двумя предыдущими фигурами.
Как проверить результат. Первые две площади равны тридцати квадратным клеткам, третья равна сорока. Высоты проведены под прямым углом к одной прямой, а продолжение основания не включено в его длину.
Частые вопросы
Высота обязательно должна лежать внутри треугольника?
Нет. Для некоторых выбранных оснований её основание находится на продолжении стороны. Требование перпендикулярности при этом сохраняется.
Почему нельзя вместо высоты взять любую длинную сторону?
Формула использует расстояние до прямой основания. Наклонный отрезок обычно имеет другую длину и не измеряет это перпендикулярное расстояние.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.