Посмотрите, какие остатки дают квадраты
Рассмотрим уравнение x2 + y2 = 3z2 в целых числах. Нулевая тройка очевидно подходит. Нужно выяснить, существуют ли другие решения. Любое целое число при делении на три имеет остаток ноль, один или два. Его квадрат соответственно имеет остаток ноль, один или один. Значит, квадрат по модулю три принимает только два возможных остатка: ноль и один. Правая часть нашего уравнения делится на три. Поэтому сумма остатков x2 и y2 должна быть нулевой по модулю три. Из доступных вариантов это возможно лишь как ноль плюс ноль: один плюс один даёт два, а ноль плюс один даёт один. Следовательно, и x, и y делятся на три.
Доведите делимость до всех переменных
Запишем x = 3a и y = 3b, где a и b целые. Подстановка даёт 9a2 + 9b2 = 3z2. После деления на три получаем 3a2 + 3b2 = z2. Поэтому z2 делится на три, а значит, на три делится и z. Последний вывод следует из той же таблицы остатков квадратов. Теперь положим z = 3c. Подставив это в последнее равенство и разделив на три, получим a2 + b2 = 3c2. Возникло уравнение точно того же вида, но все три переменные уменьшены по модулю в три раза. Пока это ещё не противоречие. Мы лишь установили важное свойство: предполагаемое ненулевое решение обязательно порождает другое целочисленное решение. Следующий шаг объясняет, почему такая возможность невозможна бесконечно.
Выберите наименьшее решение
Если z равен нулю, то сумма двух квадратов равна нулю, поэтому x и y тоже нулевые. Значит, у любого ненулевого решения z не равен нулю. Поскольку в уравнении стоит квадрат, знак z можно заменить и считать его положительным. Предположим, что ненулевые решения существуют. Среди их положительных значений z выберем наименьшее. Предыдущие рассуждения создают решение с положительным значением c = z/3. Оно строго меньше выбранного z, что противоречит его минимальности. Следовательно, ненулевых целочисленных решений нет. Полное множество решений состоит из одной тройки: x = 0, y = 0, z = 0. Доказательство охватывает все целые числа, включая отрицательные, а не только диапазон, который можно проверить вручную или программой.
Попробуйте на практике
Перенесите рассуждение на уравнение x2 + y2 = 6z2 в целых числах.
- Составьте таблицу остатков квадратов по модулю три и докажите, что x и y делятся на три.
- Подставьте x = 3a, y = 3b. Получите 3a2 + 3b2 = 2z2 и обоснуйте делимость z на три.
- Запишите z = 3c и проверьте, что после сокращения появляется уравнение a2 + b2 = 6c2.
- Разберите случай z = 0 отдельно, затем используйте наименьшее положительное значение z для доказательства от противного.
Как проверить результат. Итог снова должен быть единственным нулевым решением. В записи необходимо обосновать целочисленность новых переменных, сохранение вида уравнения и строгое уменьшение положительного числа.
Частые вопросы
Почему недостаточно проверить много небольших чисел?
Отсутствие решения в конечном диапазоне не исключает большие значения. Перебор помогает заметить закономерность, но общий вывод требует аргумента, действующего для любого предполагаемого решения.
Всегда ли делимость всех переменных даёт противоречие?
Нет. Важно получить новое решение того же уравнения и показать уменьшение положительной целой величины. Если вид задачи меняется или уменьшение не доказано, бесконечный спуск ещё не построен.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.