Начните с допустимых значений и пересечений
Знаменатель обращается в ноль при x = 1, поэтому это значение исключено из области определения. При x = 0 числитель равен нулю, а знаменатель нет: график проходит через начало координат. Других нулей у функции нет. Для x меньше 1 значения функции неположительны, причём равенство нулю достигается только при x = 0. Для x больше 1 функция положительна. Уже эти сведения позволяют обнаружить ошибку, если будущий рисунок окажется не в тех областях плоскости.
Преобразование показывает асимптоты
Разделив числитель на знаменатель, получим f(x) = x + 1 + 1/(x − 1). При больших по модулю x последняя дробь стремится к нулю. Поэтому прямая y = x + 1 является наклонной асимптотой. Слева от x = 1 добавочная дробь отрицательна, справа положительна: ветви расположены соответственно ниже и выше этой прямой. При приближении к 1 слева функция уходит к минус бесконечности, справа к плюс бесконечности. Прямая x = 1 является вертикальной асимптотой.
Производная объясняет подъёмы и спуски
Из преобразованной записи получаем f′(x) = 1 − 1/(x − 1)2, или x(x − 2)/(x − 1)2. Знаменатель положителен во всех допустимых точках, поэтому знак определяется произведением x(x − 2). Функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до 0 и от 2 до плюс бесконечности. Между 0 и 1, а также между 1 и 2 она убывает. В точке x = 0 расположен локальный максимум со значением 0, а при x = 2 локальный минимум со значением 4.
Соберите выводы в согласованный рисунок
Сначала проведите оси и обе асимптоты, затем отметьте точки (0; 0) и (2; 4). Левую ветвь ведите снизу к локальному максимуму и далее вниз при приближении к вертикальной асимптоте. Правая ветвь спускается от больших положительных значений к минимуму, затем поднимается, приближаясь к наклонной прямой. Не соединяйте ветви через x = 1: функция там не определена. Дополнительные точки нужны для уточнения формы, но не должны отменять установленные знаки и направления изменения.
Попробуйте на практике
Постройте эскиз f(x) = x2/(x − 1) и проверьте его по нескольким независимым признакам.
- Запишите область определения и отметьте на оси x исключённое значение 1. Найдите пересечение с осями и объясните, почему ноль числителя здесь допустим.
- Проверьте равенство x2/(x − 1) = x + 1 + 1/(x − 1), приведя правую часть к общему знаменателю.
- Составьте таблицу знаков производной с разделителями 0, 1 и 2. Различайте нули производной и исключённую точку функции.
- Нанесите асимптоты, локальные экстремумы и дополнительные точки при x = −1 и x = 3. Их значения равны соответственно −1/2 и 9/2.
- Сверьте эскиз со знаками функции, положением относительно наклонной асимптоты и поведением около x = 1. Исправьте любое противоречие.
Как проверить результат. На рисунке две раздельные ветви, локальный максимум (0; 0), локальный минимум (2; 4) и асимптоты x = 1, y = x + 1. Дополнительные точки согласуются с вычислениями.
Частые вопросы
Ноль производной всегда означает экстремум?
Нет. Здесь экстремумы подтверждаются сменой знака производной. В общем случае требуется исследовать поведение функции около найденной точки.
Можно ли назвать точку x = 1 экстремумом?
Нет. Функция в ней не определена. Разрыв необходимо учитывать отдельно, не смешивая его с точками графика.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.