Начало стрелки не всегда определяет вектор
В элементарной геометрии свободные векторы с одинаковыми длиной и направлением считают равными, даже если стрелки нарисованы в разных местах. Перенос стрелки параллельно самой себе не меняет такой вектор. Координаты вектора от точки A к точке B находят вычитанием координат начала из координат конца. Если A имеет координаты один и два, а B — четыре и шесть, перемещение равно трем и четырем. Обратное направление дает противоположный вектор: минус три и минус четыре. Нулевой вектор описывает отсутствие перемещения и имеет нулевую длину; обычного выделенного направления у него нет.
Сложение объединяет последовательные перемещения
Чтобы сложить два вектора на рисунке, начало второго переносят к концу первого. Итоговая стрелка идет от первоначального начала к конечной точке. В координатах соответствующие компоненты складываются. Перемещение на три вправо и два вверх, затем на один влево и четыре вверх дает два вправо и шесть вверх. Порядок двух слагаемых не меняет итоговый вектор, хотя нарисованный промежуточный путь может отличаться. Это важное различие: суммарное перемещение и длина пройденного пути не одно и то же. Если пройти вперед и вернуться, итоговое перемещение равно нулю, а пройденное расстояние остается положительным.
Умножение меняет масштаб и направление
При умножении вектора на положительное число его длина изменяется в соответствующее число раз, а направление сохраняется. Отрицательный множитель дополнительно разворачивает стрелку. Умножение на ноль дает нулевой вектор. Длину вектора с координатами три и четыре находят по теореме Пифагора: она равна пяти. Для общей пары координат складывают квадраты компонентов и извлекают квадратный корень. Важно использовать одинаковые единицы измерения по обеим осям, если речь идет о геометрической длине. При решении задачи полезно заранее оценить направление: сумма двух перемещений вверх не должна неожиданно давать движение вниз без отрицательной составляющей.
Попробуйте на практике
Постройте маршрут на клетчатой бумаге и сравните путь с перемещением.
- Отметьте стартовую точку и выполните перемещение на три клетки вправо и четыре вверх. Нарисуйте итоговую стрелку и найдите ее длину.
- От новой точки переместитесь на три клетки влево и одну вверх. Сложите координаты двух векторов и отметьте конечную точку.
- Сравните суммарное перемещение с общей длиной двух прямых отрезков маршрута. Объясните, почему эти величины различаются.
- Умножьте первый вектор на минус один и нарисуйте его из любой удобной точки. Проверьте длину и направление относительно исходной стрелки.
Как проверить результат. Первый вектор имеет длину пять, сумма перемещений равна нулю по горизонтали и пяти вверх. Противоположный вектор имеет координаты минус три и минус четыре и ту же длину.
Частые вопросы
Может ли длина вектора быть отрицательной?
Нет. Отрицательными могут быть координаты или множитель, меняющий направление. Длина является неотрицательным числом и равна нулю только у нулевого вектора.
Всегда ли сумма длин равна длине суммы?
Нет. Это выполняется для сонаправленных перемещений, но в общем случае направления различаются. При противоположных векторах одинаковой длины сумма равна нулю, хотя сумма их длин положительна.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.