Сначала точно назовите событие и условие
В коробке лежат три красные и две синие карточки, одинаковые по остальным свойствам. Две карточки выбирают последовательно, не возвращая первую. Вероятность того, что первая красная, равна 3/5. Теперь известно, что первая карточка оказалась красной. В коробке осталось четыре карточки: две красные и две синие. Поэтому вероятность красной второй при этом условии равна 2/4, то есть 1/2. Исходный знаменатель пять здесь уже не описывает оставшийся выбор. Условие не является декоративной подробностью. Оно изменяет набор допустимых ситуаций и сведения о составе коробки. Перед вычислением полезно пересказать вопрос словами: что именно уже известно и вероятность чего требуется найти?
Не смешивайте условную и совместную вероятность
Вероятность двух красных подряд отвечает на другой вопрос. Сначала нужно выбрать красную с вероятностью 3/5, затем ещё одну красную из оставшихся с вероятностью 2/4. Произведение равно 3/10. Числа 1/2 и 3/10 не противоречат друг другу. В первом случае красный цвет первой карточки уже дан как условие. Во втором это событие тоже должно произойти и входит в оцениваемую последовательность. Различие удобно видеть через долю случаев. Среди всех возможных упорядоченных выборов нас интересуют оба красных. Среди выборов, где первая уже красная, нас интересует только оставшееся требование ко второй. Набор, относительно которого считается доля, изменился.
Проверьте ответ перечислением небольших исходов
Обозначим карточки отдельно: три красные и две синие получают разные номера. Первую можно выбрать пятью способами, вторую четырьмя. Всего получается двадцать упорядоченных пар разных карточек. При равновероятном выборе такие пары имеют одинаковую вероятность. Две красные можно получить шестью способами: три варианта первой и два второй. Поэтому совместная вероятность равна 6/20, то есть 3/10. Если оставить только пары с красной первой, их будет двенадцать. Из них шесть имеют красную вторую, что даёт 6/12, то есть 1/2. Такое перечисление помогает проверить формулу и заметить пропущенное условие. Для больших задач полный список становится неудобным, но принцип остаётся тем же: определить пространство допустимых исходов и аккуратно считать внутри него. Также важно не менять условие возвращения карточки незаметно. Если первую вернуть, состав коробки перед вторым выбором будет другим. Это уже новая модель, поэтому прежний ответ нельзя переносить автоматически.
Попробуйте на практике
Решите задачу о двух карточках и объясните два разных ответа.
- Обозначьте три красные карточки и две синие отдельными номерами. Запишите правило выбора без возвращения.
- Найдите вероятность красной второй при известной красной первой. Укажите оставшееся число красных и общее число карточек.
- Найдите вероятность двух красных подряд с самого начала опыта. Объясните, почему первое событие теперь входит в расчёт.
- Проверьте оба результата через двадцать упорядоченных пар, затем двенадцать пар с красной первой. Не смешивайте эти знаменатели.
Как проверить результат. Условная вероятность равна 1/2, совместная 3/10. Ответы проверены отношениями 6/12 и 6/20, а различие вопросов объяснено словами.
Частые вопросы
Почему нельзя всегда использовать исходное число карточек?
После выбора без возвращения состав меняется. Кроме того, известное условие ограничивает рассматриваемые исходы. Знаменатель должен соответствовать вопросу.
Если первую карточку вернуть, ответ сохранится?
Не обязательно. Возвращение меняет модель второго выбора. Нужно заново определить состав и условия, а не использовать прежнюю дробь по привычке.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.