До преобразования проверьте смысл выражений
Возьмём уравнение: квадратный корень из x + 1 равен x − 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому x не меньше −1. Это область допустимых значений исходной записи. Но арифметический квадратный корень сам неотрицателен, значит, для выполнения равенства правая часть x − 1 также должна быть неотрицательной. Получаем более сильное необходимое условие: x не меньше 1. Полезно различать эти два шага. Первое условие позволяет вычислить левую часть, второе следует из равенства и знака корня. Подходящее по первому условию число ещё не обязательно может быть решением.
Что теряется при возведении в квадрат
Числа 2 и −2 различны, но их квадраты одинаковы. Поэтому из равенства квадратов двух выражений не всегда следует равенство самих выражений. В нашем примере после возведения в квадрат получается x + 1 = (x − 1)2. Раскрываем скобки: x + 1 = x2 − 2x + 1. Переносим всё в одну часть и получаем x2 − 3x = 0, то есть x(x − 3) = 0. Кандидаты — 0 и 3. Слово «кандидаты» здесь полезно: пока мы решили преобразованное уравнение и должны сопоставить его решения с исходными условиями.
Как отсечь лишний результат
Число 0 не проходит условие x не меньше 1. Если подставить его в исходное уравнение, слева получится 1, а справа −1: равенства нет. При x = 3 обе части равны 2, поэтому ответ — 3. Проверять нужно именно исходную запись, а не только равенство после возведения в квадрат: ноль как раз удовлетворяет этому новому равенству. Если заранее ограничить рассмотрение условием неотрицательности обеих частей, возведение в квадрат будет равносильным на выбранном множестве. Но пропустить записанные ограничения при оформлении решения всё равно нельзя.
Организуйте решение так, чтобы ошибка была видна
Удобно держать рядом три элемента: условия допустимости, полученные кандидаты и результат проверки. Это помогает заметить, на каком этапе число перестало подходить. Не стоит исправлять знак корня ради сохранения кандидата: символ квадратного корня обозначает неотрицательное значение, а не произвольный выбор плюса или минуса. Например, квадратный корень из 4 равен 2, хотя уравнение y2 = 4 имеет два решения. Также не нужно делить выражение x(x − 3) = 0 на x: такое деление потеряет кандидат x = 0 без объяснения. Разложение на множители сначала сохраняет оба варианта, а затем условия законно отсекают неподходящий.
Попробуйте на практике
Решите на бумаге уравнение: квадратный корень из x + 6 равен x.
- Запишите условие для подкоренного выражения и отдельно условие для знака правой части.
- Возведите обе части в квадрат и приведите полученное равенство к квадратному уравнению.
- Разложите квадратный трёхчлен на множители и найдите всех кандидатов.
- Подставьте каждого кандидата в исходное уравнение и объясните окончательный выбор.
Как проверить результат. Получены условия x не меньше −6 и x не меньше 0. Кандидаты 3 и −2; подходит только 3. При −2 левая часть равна 2, а правая −2.
Частые вопросы
Посторонний корень означает, что вычисления обязательно ошибочны?
Нет. Он может появиться из-за преобразования, которое расширило множество кандидатов. Ошибка возникает, если включить его в окончательный ответ без проверки.
Достаточно ли проверить только подкоренное выражение?
Нет. Его неотрицательность обеспечивает существование корня, но не равенство обеих частей. В рассматриваемой форме нужно учитывать также знак правой части.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.