Нулевое произведение даёт несколько случаев
Пусть нужно решить уравнение sin x · (2cos x − 1) = 0. Синус и косинус определены при всех действительных значениях аргумента. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому рассматриваются два случая: sin x = 0 и 2cos x − 1 = 0. Если сразу разделить обе части на sin x, останется только второй случай. Все значения, при которых синус равен нулю, исчезнут из записи, хотя исходному уравнению они подходят. Деление допустимо лишь после отдельного рассмотрения нулевого множителя и ограничения оставшегося случая. Разложение на случаи здесь короче и прозрачнее.
Запишите все серии и смысл целого параметра
Первый случай даёт x = πn, где n является любым целым числом. Во втором случае cos x = 1/2, поэтому x = π/3 + 2πn или x = −π/3 + 2πn. Каждая запись описывает бесконечную последовательность углов, отличающихся на соответствующий шаг. Не следует подставлять в параметр только положительные числа по привычке. Нужное значение может получаться при нуле или отрицательном целом числе. Также важно не путать период функции с самым коротким способом записи множества корней: уравнение sin x = 0 удобно записывается через πn, хотя период синуса составляет 2π. Это не противоречие, а особенность данного уровня функции.
Отбор на промежутке выполняют после общего решения
На отрезке от нуля до 2π включительно первая серия даёт ноль, π и 2π. Из двух серий косинуса получаются π/3 и 5π/3. В порядке возрастания итог состоит из пяти чисел: 0, π/3, π, 5π/3, 2π. Оба конца входят в ответ, потому что рассматривается замкнутый отрезок. Ноль и 2π соответствуют одному направлению на окружности, но являются разными значениями действительного аргумента. Их нельзя автоматически объединять при ответе на задачу об отрезке. Для каждой серии полезно проверять допустимые целые параметры через неравенство. В конце найденные значения подставляют в исходное уравнение, особенно если по ходу решения выполнялись деление или другие ограничивающие преобразования.
Попробуйте на практике
Решите уравнение cos x · (2sin x − 1) = 0 и отберите корни на отрезке от нуля до 2π включительно. Все углы записывайте в радианах.
- Разделите задачу на два случая по нулевым множителям. Объясните, какие решения могли бы исчезнуть при немедленном делении на косинус.
- Запишите общие решения каждого случая с целым параметром. Для синуса учтите два положения на окружности, соответствующие положительному значению одной второй.
- Для каждой серии найдите все значения, попадающие в заданный отрезок. Проверяйте его концы отдельно, не заменяя отрезок одним оборотом с отождествлёнными границами.
- Объедините результаты, расположите по возрастанию и выполните подстановку в исходное произведение. Если значение встретилось в нескольких сериях, оставьте его один раз.
Как проверить результат. Получены четыре корня: π/6, π/2, 5π/6 и 3π/2. При каждом значении хотя бы один множитель равен нулю. Концы отрезка не подходят. Решение сохраняет оба случая, а не только уравнение для синуса.
Частые вопросы
Можно ли пользоваться рисунком окружности вместо формул?
Рисунок помогает увидеть положения и проверить отбор. Но запись должна однозначно показывать все решения и выбранный промежуток. Формулы с целым параметром особенно полезны, когда промежуток охватывает несколько оборотов.
Почему проверка исходного уравнения обязательна после преобразований?
Преобразование может изменить множество допустимых значений или решений. Подстановка помогает обнаружить посторонние корни, однако сама по себе не найдёт потерянные. Поэтому полноту случаев проверяют ещё в ходе решения.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.