Сначала различите предметы
Пусть имеются четыре одинаковые по форме карточки: две синие и две красные. Обозначим их С1, С2, К1 и К2. По условию две карточки выбирают случайно без возвращения так, что каждая пара конкретных карточек равновероятна. Порядок появления внутри пары нас не интересует. Обозначения нужны не для усложнения задачи. Две синие карточки одинаковы по цвету, но остаются двумя разными предметами. Если сразу заменить их одним словом синие, часть вариантов исчезнет из счёта ещё до начала вычислений.
Перечислите пары без повторения порядка
Все возможные пары таковы: С1 и С2; С1 и К1; С1 и К2; С2 и К1; С2 и К2; К1 и К2. Получилось шесть вариантов. Пара С1 и К1 совпадает с парой К1 и С1, поскольку порядок по условию не учитывается. Тот же результат можно получить иначе. Для первого выбора есть четыре возможности, для второго — три, всего 12 последовательностей. Каждая неупорядоченная пара встречается в двух порядках, поэтому 12 делим на 2 и получаем 6. Важно сначала понять, что именно считается, а затем выбирать формулу.
Цветовые группы имеют разное число вариантов
На уровне цвета возможны три описания: две синие, две красные или разноцветная пара. Но первое описание соответствует одной конкретной паре, второе тоже одной, а третье — четырём. Следовательно, вероятность двух синих равна 1/6, двух красных — 1/6, разноцветной пары — 4/6, или 2/3. Делить единицу на три словесных описания было бы ошибкой: эти укрупнённые события не равновероятны. Для события одинаковый цвет подходят две пары из шести. Его вероятность составляет 2/6, то есть 1/3. Это можно проверить и через дополнение: 1 минус 2/3 равно 1/3. Разные способы дают одинаковый результат, когда опираются на одну модель выбора.
Условия выбора нельзя менять незаметно
Если после первого выбора карточку возвращают, появляются другие последовательности, включая повторное получение одного и того же предмета. Если карточки различаются так, что некоторые легче выбрать, предположение о равновероятности тоже может нарушаться. Поэтому формула количества подходящих исходов, делённого на общее количество, применяется к равновозможным исходам выбранной модели. Список сам по себе ещё не доказывает это свойство. Условия случайного выбора нужно прочитать и сохранить на протяжении всего решения.
Попробуйте на практике
Решите задачу о четырёх карточках перечислением, без случайного эксперимента.
- Запишите обозначения С1, С2, К1 и К2. Рядом укажите условия: выбор двух без возвращения, порядок не важен, конкретные пары равновероятны.
- Составьте полный список пар. Проверьте, что ни один предмет не выбран дважды и обратный порядок не добавлен как новая пара.
- Разделите список на три цветовые группы и посчитайте размер каждой. Найдите вероятность разноцветной пары.
- Объедините две одноцветные группы и вычислите их общую вероятность. Проверьте, что она вместе с вероятностью разноцветной пары даёт единицу.
Как проверить результат. В списке шесть пар: одна синяя, одна красная и четыре разноцветные. Вероятности равны 1/6, 1/6 и 2/3; одинаковый цвет имеет вероятность 1/3.
Частые вопросы
Зачем нумеровать карточки одного цвета?
Нумерация позволяет различить конкретные предметы и не потерять варианты. После подсчёта их можно объединить по нужному признаку.
Когда порядок действительно важен?
Когда условие различает последовательности, например назначает первому и второму выбранным предметам разные роли. Тогда обратный порядок может быть отдельным исходом.
Почему небольшой случайный опыт может дать другую долю?
Частота в конечном числе попыток может отличаться от теоретической вероятности. Это не меняет точного расчёта внутри заданной модели.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.