Выберите единицу работы
Два принтера печатают одинаковые по объёму задания. Первый справляется с таким заданием на три часа быстрее второго. Если оба принтера одновременно печатают разные части одного задания, оно заканчивается за два часа. За сколько часов первый принтер напечатает всё задание самостоятельно? Считаем, что производительность постоянна, части распределяются без простоев, а время подготовки не учитывается. Обозначим весь объём задания за единицу. Пусть первый принтер выполняет его за x часов, тогда второму требуется x + 3 часа. За один час первый печатает 1/x задания, второй — 1/(x + 3). Эти величины имеют одинаковый смысл: доля полного объёма за час. Именно поэтому их можно складывать. Уже здесь нужно записать ограничение x > 0: отрицательное или нулевое время не описывает условие.
Переведите совместную работу в равенство
Раз вместе принтеры заканчивают за два часа, их общая производительность равна половине задания за час. Получаем: 1/x + 1/(x + 3) = 1/2. Умножение обеих частей на 2x(x + 3) даёт 2(x + 3) + 2x = x(x + 3). После раскрытия скобок и переноса слагаемых получается x2 − x − 6 = 0. Левая часть раскладывается на множители: (x − 3)(x + 2) = 0. Корни равны 3 и −2. Второй корень исключаем по смыслу задачи. Значит, первый принтер справляется за три часа, а второй — за шесть. Обратите внимание: мы не выбирали положительный корень просто потому, что он красивее. Его допустимость следует из заранее установленного ограничения.
Проверьте ответ исходным сюжетом
За два часа первый принтер выполнит 2/3 задания, второй — 2/6, то есть 1/3. Вместе получается ровно одно задание. Разница отдельных времён равна 6 − 3 = 3 часам. Обе части условия выполнены, причём проверка не повторяет механически решение квадратного уравнения. Распространённая ошибка — написать x + (x + 3) = 2. В таком равенстве складываются времена самостоятельного выполнения, хотя машины работают одновременно. Другая ошибка — принять среднее арифметическое трёх и шести часов за совместное время. Полезная грубая проверка: при указанных предположениях вместе машины должны закончить быстрее, чем каждая отдельно. Два часа меньше трёх и шести, поэтому ответ проходит и эту проверку. Она помогает заметить неверный результат, но сама по себе ещё не доказывает правильность.
Попробуйте на практике
Решите новый пример: одна машина выполняет заказ за четыре часа, другая — за двенадцать. За сколько часов они выполнят один такой заказ вместе при постоянной производительности и отсутствии простоев?
- Примите полный заказ за единицу и запишите долю заказа, выполняемую каждой машиной за час.
- Сложите производительности, предварительно приведя дроби к общему знаменателю.
- Найдите время выполнения единичного заказа, разделив единицу на общую производительность.
- Проверьте сумму выполненных долей за найденное время и сравните ответ с четырьмя часами.
Как проверить результат. Общая производительность: 1/4 + 1/12 = 1/3 заказа за час. Время равно трём часам. Проверка: 3/4 + 3/12 = 1; три часа меньше времени каждой машины по отдельности.
Частые вопросы
Почему весь заказ можно обозначить единицей?
Нас интересуют доли одинакового полного объёма. Количество страниц или деталей сокращается при переходе к долям, если производительность и условия работы заданы именно для этого объёма.
Всегда ли при совместной работе складывают производительности?
В этой модели да. Если есть простои, ограничения оборудования или участники мешают друг другу, это должно отражаться в условии и в модели. Нельзя автоматически переносить простую формулу на любой сюжет.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.