Значение цифры зависит от разряда
В числе 352 цифра три обозначает три сотни, пять обозначает пять десятков, два обозначает две единицы. Разрядные веса справа налево равны единице, десяти, ста и далее увеличиваются в десять раз. Число получается сложением произведений цифр на соответствующие веса. Ноль сохраняет место отсутствующего разряда: записи 302 и 32 различаются именно расположением разрядов. Если убрать ноль из первой записи, значение тройки изменится. Поэтому ноль в середине числа нельзя считать необязательным украшением.
Основание определяет набор цифр
В позиционной системе с основанием два допустимы только ноль и единица. Веса разрядов равны одному, двум, четырём, восьми и так далее. Запись 1101 в двоичной системе означает восемь плюс четыре плюс ноль плюс один, то есть тринадцать. В шестнадцатеричной системе после цифр от нуля до девяти обычно применяют буквы A, B, C, D, E, F для значений от десяти до пятнадцати. Запись 1A тогда означает одну шестнадцатку и десять единиц, то есть двадцать шесть.
Перевод последовательным делением
Чтобы записать неотрицательное целое число в другом основании, его последовательно делят на это основание и сохраняют остатки. Для тринадцати при делении на два получаются частное шесть и остаток один. Затем шесть дают частное три и остаток ноль; три дают один и остаток один; один даёт ноль и остаток один. Остатки читают снизу вверх: 1101. Обратный порядок нужен потому, что первое деление выделяет младший разряд, а запись числа начинается со старшего.
Основание нужно указывать явно
Одна и та же последовательность символов может означать разные числа. Запись 10 в десятичной системе означает десять, а в двоичной означает два. Поэтому в учебной записи рядом указывают основание словами или специальным обозначением. Начальные нули у целого не меняют значение, но могут задавать фиксированную длину записи, например при представлении данных. Дробные и отрицательные числа требуют дополнительных правил; алгоритм последовательного деления выше относится именно к неотрицательным целым числам.
Попробуйте на практике
Переведите число девятнадцать из десятичной системы в двоичную и проверьте результат без калькулятора.
- Разделите девятнадцать на два, запишите целое частное и остаток.
- Повторяйте деление полученного частного на два до нулевого частного, сохраняя каждый остаток.
- Прочитайте остатки в обратном порядке и подпишите, что получена двоичная запись.
- Выпишите разрядные веса и сложите только те, напротив которых стоит единица.
Как проверить результат. Получена запись 10011. Обратная проверка даёт шестнадцать плюс два плюс один, то есть девятнадцать; цифр, отличных от нуля и единицы, в записи нет.
Частые вопросы
Почему в двоичной системе нет цифры два?
Основание определяет момент перехода в следующий разряд. После единицы требуется новая позиция, поэтому количество два записывается как 10.
Можно ли сравнивать длину записей в разных системах?
По длине нельзя напрямую сравнивать величину чисел, если основания различаются. Одно количество может требовать больше двоичных цифр и меньше десятичных. Для сравнения сначала нужно установить значения записей.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.