Периметр измеряет границу
Периметр многоугольника получают, складывая длины всех его сторон. Он показывает длину замкнутой границы и измеряется в единицах длины. Если обвести фигуру ниткой и затем распрямить её, получится наглядная модель этой величины. Для прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому можно сложить длину и ширину и удвоить результат. Но эту формулу нельзя без объяснения переносить на любую фигуру. Особенно важно замечать внутренние выступы и впадины: они тоже могут принадлежать границе и влиять на её общую длину.
Площадь описывает занятую поверхность
Площадь сравнивает, сколько единичных квадратов занимает фигура. Её единицы квадратные, а не обычные линейные. В прямоугольнике с целыми сторонами на клетчатой бумаге квадраты образуют одинаковые ряды, что объясняет умножение длины на ширину. Для сложной фигуры можно разбить поверхность на знакомые части или дополнить её до удобного прямоугольника. При этом части не должны перекрываться при сложении площадей. Неполные клетки требуют отдельного рассуждения, а не произвольного округления каждого кусочка.
Одинаковая площадь не задаёт одинаковый периметр
Прямоугольники со сторонами 3 и 4 единицы, а также 2 и 6 единиц имеют площадь 12 квадратных единиц. Их периметры различаются: 14 и 16 единиц. Один пример уже показывает, что равенство площади не заставляет границы иметь одинаковую длину. Обратное утверждение тоже требует проверки: одинаковая длина забора не определяет единственную площадь участка. Контрпример является полноценным способом опровергнуть общее утверждение. Не нужно перебирать все возможные фигуры, если найден один случай, где заявленное правило нарушается.
Чертёж помогает, но может обманывать
Угол, который выглядит прямым, не обязательно задан прямым в условии. Равные на глаз отрезки тоже требуют измерения или основания. Полезно различать свойства, указанные в задаче, и впечатления от наброска. При переносе или повороте фигуры её длины и площадь сохраняются, а при изменении масштаба меняются. Проверка несколькими способами помогает заметить ошибку: площадь можно посчитать клетками и отдельно вычислить по разбиению. Если ответы расходятся, ищут причину, а не выбирают более красивое число.
Попробуйте на практике
Сравните два прямоугольника на клетчатой бумаге, считая сторону клетки одной единицей.
- Нарисуйте прямоугольник 3 на 4 клетки и второй 2 на 6 клеток. Подпишите длины сторон.
- Посчитайте клетки внутри каждого и запишите площади с квадратными единицами.
- Обведите границы карандашом и сложите длины сторон. Запишите периметры с единицами длины.
- Сформулируйте вывод об одинаковой площади и разном периметре. Затем придумайте бытовой пример, где важно не смешивать эти величины.
Как проверить результат. Обе площади равны 12 квадратным единицам, периметры равны 14 и 16. В объяснении площадь связана с поверхностью, а периметр с границей.
Частые вопросы
Почему единицы площади называют квадратными?
Площадь сравнивают с площадью единичного квадрата. Это другая величина, чем длина его стороны, поэтому обозначение должно сохранять различие.
Достаточно ли одного контрпримера, чтобы опровергнуть правило?
Да, если правило заявлено для всех случаев. Один допустимый пример, где оно не выполняется, показывает, что общее утверждение неверно.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.