Корень — это проверяемое равенство
Число a называют корнем многочлена P, если P(a) = 0. Для нашего примера при x = 1 получаем 1 − 2 − 1 + 2 = 0. Значит, единица является корнем. Это не означает, что мы уже нашли все корни или доказали единственность. Подстановка отвечает только на вопрос о конкретном выбранном числе. Полезно сразу связывать проверку с множителем: если P(a) = 0, многочлен делится на x − a без остатка. Поэтому корню 1 соответствует множитель x − 1, а корню −1 — множитель x + 1. Ошибка знака возникает, когда число из ответа механически переносят в скобку. Проверяйте смысл: при подстановке самого корня соответствующая скобка должна обращаться в ноль.
Разложение можно получить группировкой
Сгруппируем выражение: x3 − 2x2 − x + 2 = x2(x − 2) − (x − 2). Общий множитель x − 2 даёт (x − 2)(x2 − 1). Затем разность квадратов превращает вторую скобку в (x − 1)(x + 1). Итак, P(x) = (x − 2)(x − 1)(x + 1), а корни равны 2, 1 и −1. Обратите внимание на минус перед второй группой: −x + 2 = −(x − 2). Если забыть сменить оба знака, дальнейшие действия будут выглядеть аккуратно, но относиться к другому многочлену. После разложения полезно раскрыть скобки обратно. Это проверяет тождество для всех x, тогда как несколько удачных подстановок сами по себе не заменяют полного доказательства равенства.
Остаток помогает проверить деление
При делении P(x) на x − a остаток равен P(a). Например, для делителя x − 3 получаем P(3) = 27 − 18 − 3 + 2 = 8. Следовательно, остаток равен 8, и число 3 не является корнем. Это удобная проверка результата деления, даже если само частное пока не найдено. Не путайте разложение выражения и решение уравнения. Тождество P(x) = (x − 2)(x − 1)(x + 1) верно при любом x. А переход к отдельным корням используется, когда решается P(x) = 0. Делить уравнение на скобку, которая может быть нулём, без отдельного рассмотрения нельзя: так легко потерять корень. Сохраняйте исходное условие и проверяйте найденные значения.
Попробуйте на практике
Исследуйте многочлен Q(x) = x3 + x2 − 4x − 4, используя подстановку и группировку.
- Проверьте x = −1 прямой подстановкой и назовите соответствующий линейный множитель с правильным знаком.
- Сгруппируйте первые два и последние два слагаемых, вынесите общий множитель и примените разность квадратов.
- Запишите все корни уравнения Q(x) = 0 и проверьте каждый в исходном выражении.
- Найдите остаток при делении Q(x) на x − 3 через подстановку, затем объясните, почему 3 не является корнем.
Как проверить результат. Должно получиться Q(x) = (x + 1)(x − 2)(x + 2), корни −1, 2 и −2, остаток при делении на x − 3 равен 20. Обратное раскрытие скобок должно вернуть исходный многочлен.
Частые вопросы
Если подстановка одного числа совпала, преобразование доказано?
Нет. Совпадение в одной точке проверяет лишь этот случай. Для тождества нужно корректное преобразование или другое общее доказательство; удобная проверка — раскрыть полученные скобки.
Почему нельзя сразу сократить уравнение на найденный множитель?
Потому что он может быть равен нулю именно при одном из корней. Сокращение без отдельного рассмотрения этого случая способно удалить правильное решение.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.