Класс руки и конкретное сочетание различаются
Возьмём стандартную колоду из 52 карт. В ней четыре туза и четыре короля. Туз и король могут образовать шестнадцать разных сочетаний: каждому из четырёх тузов соответствует любой из четырёх королей. Из этих сочетаний четыре одномастные и двенадцать разномастные. С парой тузов иначе. Выбираются две разные карты из четырёх, а порядок их получения не создаёт новую руку. Поэтому получается шесть сочетаний. Если сначала посчитать четыре варианта первого туза и три второго, выйдет двенадцать, но каждую пару мы учли дважды. Деление на два исправляет повторный подсчёт.
Два названия могут иметь разный вес
Пусть учебная модель допускает только пару тузов либо туза с королём любой масти. Если все конкретные сочетания в этой модели равновероятны и никакие известные карты пока не исключены, всего получится двадцать два варианта: шесть и шестнадцать. Доля пары тузов тогда составляет шесть из двадцати двух, примерно 27 процентов, а доля туза с королём примерно 73 процента. Это результат заданных предположений. Он не доказывает, что реальный человек выбирает все эти руки одинаково часто или что в его диапазоне нет других сочетаний.
Известная карта меняет доступные сочетания
Теперь добавим условие: один туз уже известен и не может находиться у соперника. Остаются три туза. Пару из них можно составить тремя способами, а сочетание туза с любым королём двенадцатью способами. В обновлённой модели пятнадцать вариантов, из которых три относятся к паре тузов. Её доля равна 20 процентам при прежнем допущении одинакового веса сочетаний. Здесь известная карта сократила обе группы, но в разной пропорции. При реальном разборе нужно учитывать все известные карты, а не только ту, которая удобна для желаемого вывода.
Подсчёт комбинаций не заменяет проверку предположений
Игровые действия могут делать одни сочетания в предполагаемом диапазоне более вероятными, чем другие. Если модель приписывает разным рукам разные частоты, одного числа доступных комбинаций недостаточно: нужно учитывать их веса. Неизвестную частоту нельзя выдавать за наблюдённый факт. Кроме того, вероятность встретить определённую руку отличается от вероятности выиграть раздачу. Последняя зависит от конкретных карт и оставшегося развития. Даже аккуратная модель не гарантирует исхода и не устраняет финансовый риск азартной игры. Для изучения комбинаторики достаточно условных примеров; проверять её реальными ставками не требуется.
Попробуйте на практике
Проверьте учебный диапазон из пары тузов и туза с королём на бумаге, используя обозначения мастей словами или рисунками.
- Нарисуйте четыре туза и четыре короля разных мастей. Перечислите все пары тузов, не считая перестановку одной пары новым вариантом.
- Сопоставьте каждый туз с каждым королём. Отдельно отметьте одномастные сочетания и проверьте общую сумму.
- Объедините две группы в условный диапазон. При одинаковом весе каждого сочетания найдите долю пары тузов.
- Исключите один конкретный туз, как будто он уже известен. Перечеркните все сочетания, содержащие именно эту карту, и пересчитайте группы.
- Запишите итог вместе с ограничениями: какие карты считаются известными, какие руки допущены и почему равенство весов пока является условием задачи.
Как проверить результат. Получены 6 пар тузов и 16 сочетаний туза с королём; после исключения одного туза остаются 3 и 12. Доли около 27 и 20 процентов относятся к модели диапазона, а не к гарантии выигрыша.
Частые вопросы
Почему нельзя просто дать каждому названию руки половину вероятности?
Название объединяет разное число сочетаний. Кроме того, реальная частота выбора этих сочетаний зависит от предположений о поведении игрока.
Означает ли известная карта, что соперник точно блефует?
Нет. Она исключает только невозможные сочетания. Для вывода о других вариантах нужны дополнительные предположения, которые могут оказаться ошибочными.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.