Опишите опыт полностью
В мешке находятся три красных и два синих жетона, одинаковых по форме и размеру. Их перемешивают и выбирают вслепую. При первом выборе вероятность красного равна трём пятым. Но для второго шага нужно уточнить правило: возвращается ли первый жетон и перемешивается ли набор снова? Без этого вопрос о двух красных жетонах имеет разные ответы. Также важно указать, считаем ли порядок цветов существенным. Последовательности красный, затем синий и синий, затем красный — разные исходы двух последовательных выборов.
Без возвращения меняются доступные варианты
Если первым выбран красный жетон и его не вернули, остаются два красных из четырёх предметов. Вероятность второго красного при этом условии равна одной второй. Вероятность двух красных подряд составляет три пятых, умноженные на одну вторую, то есть три десятых. Это не означает, что второй шаг сам по себе стал в целом менее красным до получения информации о первом. Мы используем условную вероятность после конкретного первого результата. Уточнение условия помогает не путать разные вопросы.
С возвращением сохраняется состав
Если первый жетон возвращают и набор снова перемешивают, на втором шаге опять доступны три красных из пяти. При принятой модели независимого случайного выбора вероятность двух красных равна девяти двадцать пятым. Разница с тремя десятыми возникла из правил опыта, а не из другой формулы удачи. Независимость означает, что знание одного события не меняет вероятность другого. Она не равна несовместности: два события несовместны, если не могут произойти вместе. Два красных выбора могут произойти вместе, поэтому смешивать эти понятия нельзя.
Проверяйте ответ через дополнение или перечень
Вместо запоминания названия формулы полезно нарисовать ветви: после красного остаётся один состав, после синего — другой. На каждом разветвлении вероятности всех доступных вариантов должны давать единицу. Вероятность отдельной последовательности получают произведением вероятностей по её пути. Для события ровно один красный складывают две несовместные последовательности с разным порядком. Такой рисунок помогает увидеть пропущенную ветвь. Итоговая вероятность не может быть отрицательной или превышать единицу, но этого контроля недостаточно для доказательства правильности.
Попробуйте на практике
Решите на бумаге задачу о двух жетонах без возвращения.
- Нарисуйте две первые ветви: красный с вероятностью 3/5 и синий с вероятностью 2/5.
- После красного подпишите второй синий как 2/4; после синего подпишите второй красный как 3/4.
- Перемножьте вероятности вдоль двух путей и сложите результаты для события ровно один красный.
- Для проверки отдельно найдите вероятности двух красных и двух синих, затем сложите все три возможных количества красных жетонов.
Как проверить результат. Ровно один красный имеет вероятность 3/10 плюс 3/10, то есть 3/5. Два красных дают 3/10, два синих — 1/10; вместе получается единица.
Частые вопросы
Можно ли просто умножать вероятности?
Для последовательности используют вероятность первого события и условную вероятность второго при первом. Заменять условную вероятность обычной можно при соответствующей независимости.
Почему два порядка нужно складывать?
Красный–синий и синий–красный не происходят одновременно в одном двухшаговом опыте. Они образуют два непересекающихся способа получить ровно один красный.
Гарантирует ли возвращение независимость всегда?
В этой модели — при новом случайном выборе и перемешивании. В реальных опытах необходимо проверить и остальные условия, а не только факт физического возвращения предмета.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.