Сначала определите целое
Представьте две одинаковые полоски бумаги. Первую разделили на четыре равные части и закрасили одну. Вторую разделили на восемь равных частей и закрасили две. Закрашенные длины одинаковы: одна четвертая равна двум восьмым. Так появляется основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение. Для положительных дробей это можно понимать как дополнительное деление каждой доли. Однако сравнивать закрашенные части полосок разной длины напрямую нельзя. Четверть большой полоски может оказаться длиннее половины маленькой. В задаче всегда уточняйте, к какому целому относится доля.
Сравнивайте через одинаковые части
При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель: пять седьмых больше трех седьмых. Размер долей одинаковый, различается их количество. При одинаковых положительных числителях больше дробь с меньшим положительным знаменателем: три четвертых больше трех восьмых, потому что четвертая доля крупнее восьмой. Если отличаются оба числа, можно привести дроби к общему знаменателю. Например, две третьих превращаются в восемь двенадцатых, а три четвертых в девять двенадцатых. Теперь сравнение очевидно. Числовая прямая дает еще одну проверку: большее число расположено правее. Дробь может быть равна единице или превышать ее; это не делает запись неправильной.
Действия должны сохранять смысл
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют прежним. Две пятых плюс одна пятая дают три пятых: размер доли не изменился. Складывать знаменатели в этом случае нельзя. Для разных знаменателей сначала получают одинаковый размер долей. В текстовой задаче полезно подписывать единицы измерения и отдельно отмечать, идет ли речь о доле или о количестве. Чтобы найти три пятых от двадцати предметов, сначала находят одну пятую, разделив двадцать на пять, затем берут три такие группы. До точного вычисления стоит оценить результат: положительная правильная дробь от числа должна быть меньше самого числа. Эта проверка часто обнаруживает перепутанное действие.
Попробуйте на практике
Разберите одну задачу о долях несколькими способами, не используя калькулятор.
- Нарисуйте полоску, обозначающую двадцать одинаковых бусин, и разделите ее на пять равных групп. Подпишите количество бусин в каждой группе.
- Закрасьте три группы и запишите, сколько бусин составляют три пятых от двадцати. Объясните каждое выполненное действие.
- На другой одинаковой полоске отметьте одну вторую. Сравните одну вторую и три пятых, приведя дроби к знаменателю десять.
- Придумайте похожую задачу с пятнадцатью предметами и дробью две трети. Решите ее и проверьте ответ обратным рассуждением.
Как проверить результат. Получены двенадцать бусин для первой задачи и десять предметов для второй; три пятых больше одной второй. Все рисунки используют равные части одного целого.
Частые вопросы
Почему знаменатель не может быть равен нулю?
Знаменатель связан с делением. Деление на ноль не определено, поэтому такая запись не задает обычную дробь. Нулевой числитель при ненулевом знаменателе допустим и дает ноль.
Можно ли сокращать числитель и знаменатель на разные числа?
В общем случае нельзя: значение изменится. При сокращении оба числа делят на один и тот же общий ненулевой делитель. Например, шесть восьмых сокращают на два и получают три четвертых.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.