Основание задаёт размер группы
В десятичной системе десять единиц превращаются в один десяток. В системе с основанием пять пять единиц превращаются в одну «пятёрку» следующего разряда. На столе можно выделить отдельные зоны для разрядов. В правой зоне лежат единицы, левее — группы основания, ещё левее — группы основания в квадрате. Это делает позиционность буквально видимой.
Цифра показывает количество групп в разряде
Если в системе основания пять в разряде единиц лежат три палочки, последняя цифра числа равна трём. Когда появляется пятая палочка, все пять заменяются одной палочкой в следующей зоне. Поэтому допустимые цифры всегда меньше основания. В двоичной системе в каждом разряде может быть только ноль или один.
Сложение превращается в перенос
Чтобы сложить числа, палочки объединяют по разрядам. Если количество достигает основания, выполняют обмен на единицу слева. Это тот же перенос, который выполняется столбиком в десятичной арифметике. Наглядность особенно полезна, когда ученик понимает алгоритм переноса механически, но не видит, почему он работает.
Перевод в десятичную систему становится понятнее
Каждая позиция имеет вес: единицы, основание, квадрат основания и так далее. Чтобы узнать обычное значение числа, количество палочек в каждом разряде умножают на вес позиции и складывают. Например, для основания три левая позиция может означать девятки, следующая — тройки, правая — единицы.
Попробуйте на практике
Представить несколько чисел в системе с основанием три с помощью палочек.
- Разметьте на столе зоны: единицы, тройки и девятки.
- Положите восемь палочек в зону единиц.
- Каждые три палочки заменяйте одной в следующей зоне.
- Запишите, сколько палочек осталось в каждой зоне.
- Проверьте результат, умножив количество палочек на веса разрядов и сложив.
Как проверить результат. Упражнение выполнено, если восемь представлено как две тройки и две единицы, а запись в троичной системе объясняется через реальные группы.
Частые вопросы
Почему в двоичной системе нет цифры 2?
Потому что две единицы сразу образуют одну единицу следующего разряда, поэтому в разряде остаётся только 0 или 1.
Что означает позиционная система?
Значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции, которая имеет определённый вес.
Можно ли так объяснить шестнадцатеричную систему?
Да, принцип тот же, хотя для больших групп физические палочки становятся менее удобными, и лучше переходить к символической записи.
Самостоятельный разбор темы. Содержание конкретной обучающей программы здесь не представлено.